数形结合与数学模型:高中数学教学中的核心问题

问题篇 **部分 函数与导数 问题1 集合的本质是什么? 问题2 为什么要用对应关系重新定义函数? 问题3 如何理解指数函数和对数函数? 问题4 为什么要借助单位圆重新定义三角函数? 问题5 如何认识极限? 问题6 如何理解函数的连续性? 问题7 如何理解导数? 问题8 为什么通过导数可以研究函数的性质? 问题9 为什么说牛顿-莱布尼茨公式非常重要？ 问题10 为什么实数可以比较大小，而复数却不能比较大小？ 第二部分 几何与代数 问题11 如何用几何的方法研究代数？ 问题12 什么是不可作图问题？ 问题13 如何理解向量？如何用向量的投影表示物体受力？ 问题14 如何理解向量的数量积与矢量积？ 问题15 如何利用向量刻画线性空间的基本概念? 问题16 行例式运算是如何规定的？如何用行例式表达方程组的解？ 问题17 矩阵运算是如何规定的？如何用矩阵求线性方程组的解？ 问题18 线性变换的本质特征是什么？为什么用矩阵可以刻画线性变换？ 问题19 如何理解距离？如何理解向量的投影? 问题20 为什么古希腊学者称圆锥曲线为“齐曲线”“亏曲线”“盈曲线”？ 第三部分 概率与统计 问题21 如何理解随机事件?如何表达和刻画随机事件的概率? 问题22 如何理解条件概率?如何理解随机事件的独立性? 问题23 什么是随机变量?如何得到随机变量的分布? 问题24 什么是离散型随机变量?二项分布是如何得到的? 问题25 什么是连续型随机变量?正态分布是如何得到的? 问题26 统计学与数学的区别是什么?应当如何理解统计学? 问题27 为什么不能用频率的极限定义概率? 问题28 如何理解估计?如何理解估计的有效性? 问题29 如何理解检验问题?如何理解列联表的独立性检验? 问题30 如何理解线性统计模型?如何理解回归模型? 话题篇 话题1 关于集合的故事 话题2 关于ZF集合论公理体系 话题3 选择公理的必要与困惑 话题4 函数定义的演变过程 话题5 基本初等函数的形式化定义 话题6 微积分形成过程与极限理论确立 话题7 实数理论的确立 话题8 复数、四元数与麦克斯韦方程 话题9 几何基本概念与几何公理体系 话题10 再论几何学的思维基础与基本概念 话题11 罗巴切夫斯基几何及其现实意义 话题12 黎曼几何及其现实意义 话题13 经纬线、地图与坐标系 话题14 极坐标与圆锥曲线的统一表达 话题15 二次曲线分类、几何变换与不变性质 话题16 时空模型与几何、时空变换与不变量 话题17 伽利略是如何得到自由落体方程的 话题18 开普勒是如何得到行星运动轨迹的 话题19 牛顿万有引力定律与开普勒定律的关系 话题20 爱因斯坦狭义相对论和广义相对论 话题21 投入产出模型：线性方程组解的存在及其意义 话题22 凯恩斯经济模型：从静态的到动态的 话题23 人口增长模型：为什么是指数形式? 话题24 养老金模型：如何思考社会问题 话题25 环境指数模型：如何表达多样性 话题26 优化模型：不能两全事物的决策 话题27 估计的三种优良性准则 话题28 孟德尔遗传学与统计检验 话题29 偶然与必然的关系 话题30 原因与结果的关系