数学几何辅助线专题突破/中考热点研究

　　首先章 　　中线与辅助线 　　首先章中线与辅助线 　　中考热点研究·数学几何辅助线专题突破 　　首先节遇到中线如何作辅助线 　　技巧1：倍长中线 　　技巧2：倍长类中线 　　技巧3：构造中位线 　　技巧讲解 　　技巧1 　　倍长中线 　　技巧解读 　　三角形中有中线，可以将中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形 　　如图所示，AD为△ABC的中线，可延长AD至点E，使DE＝AD连接CE，则△CDE≌△BDA（SAS）；再连接BE，可得四边形ACEB为平行四边形 　　技巧应用 　　（贵阳中考）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB、AD、DC之间的等量关系 　　解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB、AD、DC转化在一个三角形中即可判断 　　AB、AD、DC之间的等量关系为 　　（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB、AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论 　　（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE∶EC＝2∶3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 　　【思路分析】第（1）（2）问中E为中点，所作的辅助线即为倍长中线；第（3）问中BE∶EC＝2∶3，类比中线，可延长AE交CF的延长线于点G，则AE∶EG＝2∶3 　　【答案详解】 　　（1）AD＝AB＋DC 　　（2）AB＝AF＋CF 　　如图所示，延长AE交DC的延长线于点G 　　∵AB∥DG，∴∠BAE＝∠G 　　在△ABE和△GCE中， 　　∵∠BAE=∠CGE∠AEB=∠GECBE=CE， 　　∴△ABE≌△GCE（AAS）， 　　∴AB＝CG 　　∵AE平分∠BAF， 　　∴∠FAG＝∠BAE＝∠G，∴AF＝GF 　　∵CG＝CF＋FG，∴AB＝CF＋AF 　　（3）AB＝23（CF＋DF） 　　如图所示，延长AE交CF的延长线于点G 　　∵AB∥CG，∴∠A＝∠G 　　∵∠BAE=∠CGE∠AEB=∠GEC， 　　∴△ABE∽△GCE（AA）， 　　∴AB∶GC＝BE∶CE＝2∶3，即AB＝23GC 　　∵∠FDG＝∠A＝∠G，∴DF＝GF 　　∵GC＝CF＋FG， 　　∴AB＝23GC＝23（CF＋DF） 　　技巧训练 　　（达州中考）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 　　技巧2 　　倍长类中线 　　技巧解读 　　三角形中有与中点相关的线段（非中线），可加倍延长该线段，构造全等三角形或平行四边形 　　如图所示，△ABC中，D为BC边中点，E为AC边上任意一点（不与点A、C重合）延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF，则△CDE≌△BDF（SAS）；再连接BE、CF，则四边形CFBE为平行四边形 　　技巧应用 　　如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF 　　【思路分析】 　　欲证AC＝BF，可倍长FD，将BF与AC转移到同一个三角形中 　　【答案详解】 　　如图所示，延长AD至点G，使DG＝DF，连接CG 　　在△BFD和△CGD中， 　　∵FD=GD∠FDB=∠GDCBD=CD， 　　∴△BFD≌△CGD（SAS） 　　∴BF＝CG，∠BFD＝∠G 　　∵AE＝EF， 　　∴∠EAF＝∠AFE， 　　∵∠BFD=∠AFE， 　　∴∠AGC＝∠EAF， 　　∴CG＝AC 　　∴AC＝BF 　　思考：若倍长AD至点H，连接BH，该如何证明呢？ 　　技巧训练 　　在任意△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于点N，连接MN，如图所示，则MN与BM＋CN的关系为（） 　　ABM＋CN＞MNBBM＋CN＜MN 　　CBM＋CN＝MND无法确定 　　技巧3 　　构造中位线 　　技巧解读 　　多边形中有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线 　　如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC的中点此时可连接BD，取BD的中点G，则EG、GF分别为△ABD、△BCD的中位线，可得EG＝GF＝12AB＝12CD 　　技巧应用 　　（兰州中考）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论 　　【思路分析】 　　四边形PQMN的每条边均为两个中点的连线，考虑连接四边形ABCD的对角线构造三角形，进而利用中位线定理判断 　　【答案详解】 　　四边形PQMN为菱形 　　如图所示，连接AC、BD 　　∵N、P分别为AD、AB中点， 　　∴NP为△ADB的中位线， 　　∴NP∥BD且NP＝12BD 　　同理可得，MQ∥BD且MQ＝12BD 　　∴NP ?瘙 綊 MQ， 　　∴四边形PQMN为平行四边形 　　∵△ADE和△BCE都是等边三角形， 　　∴∠AEC＝∠DEB＝120° 　　在△AEC和△DEB中， 　　∵AE=DE∠AEC＝∠DEBEC=EB， 　　∴△AEC≌△DEB（SAS） 　　∴AC＝DB 　　∵NM为△ACD的中位线，∴NM＝12AC. 　　∵NP＝12BD， 　　∴NM＝NP， 　　∴平行四边形PQMN为菱形 　　技巧训练 　　（潍坊中考）已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC取AB的中点F，连接FD交AC于点E 　　（1）求AEAC的值； 　　（2）若AB＝a，FB＝EC，求AC的长 　　等级演练 　　基础题 　　1（本溪中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M 　　（1）如图①，当∠A＝30°时，求证：MC2＝AM2＋BC2； 　　（2）如图②，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由； 　　（3）将三角板ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N（点N不与点C重合），连接MN，则MN2＝AM2＋BN2成立吗？ 　　答：（直接填“成立”或“不成立”即可） 　　2（常德中考）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME 　　（1）如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； 　　（2）如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM、ME的长； 　　（3）如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME 　　3（丹东中考）如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动） 　　（1）如图①，当点M在点B左侧时，EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； 　　（2）如图②，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； 　　（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由 　　提升题 　　4（绥化中考）如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明） 　　（温馨提示：在图①中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE） 　　问题一：如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论； 　　问题二：如图③，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明 　　5（淄博中考）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB、AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD、ACE，分别取BD、CE、BC的中点M、N、G，连接GM、GN小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是 　　（2）类比思考： 　　如图②，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换成一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由 　　（3）深入研究： 　　如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明 　　趣味数学史 　　柏拉图——不懂几何者不得入内 　　柏拉图师从苏格拉底学习哲学，在苏格拉底受审被判死刑后，他开始周游各国寻求知识，结交了许多有名的数学家，逐渐领悟到了数学是理性哲学的前提条件 　　约公元前385年，他结束游学回到雅典，创办了自己的学校——柏拉图学院由于柏拉图很重视数学，尤其是对几何学感兴趣，他甚至在学院门口立下牌子，上面写着“不懂几何者不得入内”，学院的研讨也以数学为主除此之外，学院的另一风范就是公开研讨的学风，这深刻影响着后世的学校 　　第二节特殊三角形中的中线 　　技巧1：巧用“三线合一” 　　技巧2：巧用“斜边中线等于斜边的一半” 　　技巧讲解 　　技巧1 　　巧用“三线合一” 　　技巧解读 　　等腰三角形中有底边中线时，常利用“三线合一”的性质解题 　　如图所示，已知等腰△ABC，点D为底边上的中点，连接AD，则AD为∠BAC的平分线、BC边上的中线及BC边上的高 　　技巧应用 　　（抚顺中考·节选）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE 　　（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE与BE的数量关系，并结合图①证明你的结论； 　　（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论