经济、金融复杂系统的非线性分析方法

第1章绪论 1.1研究的背景和意义 作为较经典的分析方法，线性系统分析方法由于理论本身的局限性和分析手段所限，其分析过程往往只对现实复杂系统进行相应的简化；或是人为地略去系统中的非线性因素来对现实的复杂系统进行线性化处理；抑或是建立分段的线性逼近方程来描述现实的管理、经济、金融和工程这一复杂系统本身。这一方法在一定时期内发挥了较重要的作用，解决了一些关乎国计民生的行业实际问题，其理论体系也逐步得到完善。由于社会的发展，伴随着科技的不断进步，原来的线性系统分析方法在实际应用过程中受到了很大的挑战，已不再完全适用于描述现实的各种实际复杂系统。 但就其普遍规律来看，由于各种量之间复杂的相互作用，其数学模型实际上都呈现出非线性性质，虽然这种简化使得分析易于处理，但同时也忽略了大量信息，使得线性分析不够准确，尤其随着时间的演化，分析结果可能和实际情况大相径庭。任何现实存在的结构体系在时间和空间上都是有限的，而线性模型在时间上或空间上是无限的，所以线性模型只能是非线性模型的局部近似。 很早以前，经济学家在研究经济系统时就发现了现实问题中的某些经济、金融系统是非线性的，但由于受限于计算技术、复杂系统分析方法以及非线性模型在求解上的困难，所以非线性经济系统的分析方法多年来一直未有理论和分析方法上的较大突破。*近几十年，由于科学技术的日益进步，特别是计算机科学的飞速发展，自然科学在许多领域掀起了向非线性方向推进的热潮，揭示了诸如湍流、孤子、吸引子、吸引盆、混沌等新的现象及其发生机理，特别是对于混沌以及通向混沌道路出现的揭示和发现，被誉为是继相对论和量子力学之后的第三次物理学的大革命。 随着非线性分析方法和计算机技术的快速发展，经济学家和经济研究工作者可以采用诸多工具与方法来对非线性经济现象进行多角度、多层次的深入研究，这种非线性经济的分析方法为观察和研究经济现象、经济系统的复杂性打开了一扇新的窗户。 众所周知，传统线性经济系统具有叠加性系统、非线性经济系统的分析方法，打破了传统的线性系统的可叠加性的基本原理，为经济系统的分析提供了新的理论和方法，如具有多重均衡、分岔现象、蝴蝶效应、途径依赖和内在的随机性等。非线性系统在特定参数下表现出的混沌特性受到众多学者的关注，混沌理论与数理经济学相结合，非线性动力学开始活跃于经济分析的舞台，这是打破线性分析范式的重要尝试。非线性分析经常会得出与均衡分析结果迥异的但有意义的结论，从理论方法上推动了经济学的发展，涌现出了大量的新的研究成果，同时诞生了一个新的具有生命力的学科——非线性经济学(或者称为混沌经济学)。 非线性动力系统是非线性经济学的重要组成部分，它研究经济变量随时间演变的极限行为。经过庞加莱(Poincaré)、李雅普诺夫等的奠基和发展，动力系统已成为现代数学的重要分支之一，非线性动力系统理论为研究经济、金融系统的复杂动态行为提供了有力的工具。 混沌是非线性动力系统普遍存在的一种运动形式，是非线性动力系统的固有特性，同时是非线性科学研究的重要内容之一，混沌研究对非线性动力学的发展有着全局性、本质性的影响。 混沌是当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓广了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。它在自然科学及社会科学等领域中，覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强、发展前景及影响之深远都是空前的。著名物理学家约瑟夫?福特(Joseph Ford)认为混沌是20世纪物理学中继量子力学和相对论之后的第三次革命，他说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定论是可预测性的幻想。”混沌理论作为一门交叉学科，目前已被广泛应用于管理科学与工程、经济学、心理学、物理、机械、信息技术、地质学、天文学、生物、化学，乃至美术、音乐等领域。 确定性的非线性系统也会产生混沌。其特殊性主要表现在两个方面：一是非线性系统本身的确定性，二是所产生现象具有随机性。其现象所展现出来的是具有自相似结构的奇怪吸引子，不同的非线性系统可能表现出结构不相同的奇怪吸引子，但又表现为有限结构。 经济全球化和互联网的普及加快了全球经济发展进程，经济系统越来越呈现出开放和变幻多样的特点，全球经济运行的影响因素及相互关系的复杂性极大增加。传统的经济学理论已无法准确描述。在解决复杂多样的经济问题上，非线性经济学(混沌经济学)逐渐显现出独特优势，并取得较大进展，因而成为当代经济学的前沿课题。其根源在于不可积性普遍存在于宏观经济系统中，不可积性导致系统发生混沌现象，混沌的出现使人们意识到即使完全确定的非线性系统，也可能存在运动和演化过程中固有的随机性，从而突破了新古典经济学的理论基础。 非线性科学的发展，混沌现象的产生，拓宽了其在自然科学中的应用，并渗透到社会科学、人文科学等领域，其中寡头垄断市场的动态博弈行为是混沌理论的一个经典研究对象。寡头垄断市场是普遍存在的一种市场结构，一方面关系到国家安全的保护性行业，如电力、能源等成为国有寡头市场；另一方面在完全竞争行业中，随着竞争的加剧，以及行业内的淘汰和并购，*终也形成寡头垄断市场，如碳酸饮料、IT和电子商务等领域。 随着中国经济开放程度的提高，在未来全球经济市场中，中国企业面临的国际竞争将不可避免，如何在激烈的竞争中保持竞争优势，做出科学管理决策，是摆在政府及各寡头企业决策者面前不可避免的难题。将博弈理论和分岔与混沌理论相结合，分析和研究经济系统中各部门之间的博弈过程与动力学特征，在一定程度上具有前瞻性和适用性。通过对实际市场的分析，构造相应的博弈模型，在一定程度上对市场具有模拟功能，通过模型推导以及数值仿真，博弈结果比较客观地反映了各寡头企业之间的博弈过程，这对政府修订市场政策及各寡头决策者制定本企业发展策略具有重要的现实意义。 1.2非线性动力系统概述 系统是指一些客体彼此间相互联系、相互作用的集合。客体主要是指自然科学中的物质、社会事务和组织等。系统的特性用状态变量表示，当状态变量随着时间的改变而改变，即系统是非平衡态时，称此类系统为动力系统。 早期学者对于动力系统的研究主要局限在具有线性形式的动力学方程，其易解且具有简单特性和服从叠加原理。科学家可以叠加简单问题的解得到原来复杂问题的解，一些分析工具在许多学科中会得到应用，如傅里叶变换(Fourier transform)。但对于远离平衡态运作的系统，叠加原理通常不再适用，这时非线性(nonlinearity)就不可避免。但实际中，客体多是以非线性系统存在的。非线性动力系统中状态变量随时间变化的定量表达形式有两种：连续的数学方程或离散的数学方程，统称为非线性动力学方程。 用系统的思想研究解决人类社会实践问题，可以追溯到远古时代。但是将系统作为一个重要的科学概念予以研究与发展，则是20世纪末的事情。20世纪90年代初期，我国以钱学森为首的科学家提出了开放的复杂巨系统理论。本质内容是：从系统学角度考虑，所有自然界和社会中的复杂事物与现象，都可以应用复杂的巨系统来表达。传统的系统复杂性理论是研究复杂系统如何在一定的规则下产生有组织的行为以及系统进化所涌现出来的行为，美国圣塔菲研究所(Santa Fe Institute，SFI)的霍兰(Holland)等逐渐拓宽了复杂系统的研究内容，认为复杂性位于混沌的边缘，并逐步把研究内容转到经济系统。 现代经济理论中绝大部分理论是用线性微分、差分方程表示的，并且是具有线性可加性的线性系统。从某种意义上说，线性范式是现代经济理论的特点。但是，随着系统科学、混沌理论的迅速发展，学者逐渐意识到经济分析的线性范式存在严重问题。线性分析范式有可能是造成现代经济分析和预测在重要情况下普遍失效的本质原因。把作为复杂非线性系统的经济系统当作简单的线性系统，并进行线性范式经济分析，必然存在严重的偏差，这样的分析方法当然是无效的。 非线性科学、系统科学的发展严重动摇了当今主流经济学科的理论基础，挑战了经济学的发展。非线性科学体系的主要研究对象一般具有开放性、能动性，而绝大多数客观事物便具有这些复杂特性，非线性是导致这种复杂性的本质原因，随机决定论特别地从理论上更深刻、更辩证地反映了客观事物的本质。 1.3国内外研究现状 混沌理论的发展*初是由法国数学家和物理学家庞加莱所创立的微分方程理论及其对解的性态和稳定性研究发展起来的。之后的许多学者对其进行了深入研究和扩展。1903年，庞加莱在研究三体问题时发现了混沌，成为世界上了解混沌存在可能性的**位学者。1954年，苏联数学家科尔莫哥洛夫(Kolmogorov)在探索概率起源过程中发现了哈密顿(Hamilton)函数中微小变化时条件周期的保持性。1963年，他的学生阿诺德(Arnold)对此做了严格的数学证明。同时，瑞士数学家莫泽(Moser)对此给出了一个改进的证明。以这三位数学家名字的首位字母命名的KAM定理是人们用微扰方法处理不可积系统所取得的*成功的结果，具有极为重要的理论价值。1963年，美国气象学家洛伦兹在研究大气时发现了确定性的非周期流，一个确定性系统在某些条件可出现非周期的无规则行为，即轨道对初始条件的敏感依赖性，也就是著名的“蝴蝶效应”。这之后，Ruelle等对这类运动的特性进行的研究也得到了类似的随机结果，混沌运动开始被广泛关注和研究。1975年，美籍华裔数学家李天岩(Tianyan-Li)和美国数学家约克(Yorke)在研究一维连续映射导出的离散动力系统时，得到了一个著名的结果：“周期3意味着混沌”。并且首次将混沌的概念引入科学界(Li and Yorke， 1975)。此后“混沌”作为一个新的科学名词正式出现在科学文献中，随着对不同问题研究的需要，出现了几个不同的混沌定义。但无论哪种定义，对初始条件的敏感依赖性被认为是混沌*重要的本质特征，从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。进入20世纪80年代后，混沌理论产生了巨大的进步，倍周期分岔和普适常数理论等被发现，混沌理论的应用范围越来越广泛。 许多学者为混沌理论的创立做了开拓性的工作，包括庞加莱、洛伦兹、费根鲍姆(Feigenbaum)、Yorke、李天岩、斯美尔(Smale)和曼德勃罗(Mandelbrot)等。混沌是非线性动态系统所特有的一种运动形式，它是在确定性系统中出现的一种貌似不规则的、内在的随机运动，是既普遍存在又极其复杂的现象。混沌运动模糊了确定性运动和随机运动的界限，它具有不可重复性，局部不稳定而整体稳定。对混沌的研究大大丰富了我们对事物演变的认识，不仅使我们对一些非线性系统的复杂行为有了正确的认识，也使许多长期以来无法解决的复杂现象的研究找到了新的希望。根本原因在于，无论机械工程、电子通信，还是生命科学、经济社会等系统都表现出复杂的非线性特征，利用传统的线性模型和研究方法，常常会出现无法接受的分析和计算误差，甚至系统中微弱的非线性也可能导致现行计算方法的本质错误。近年来，在大量的微观和宏观经济系统中发现了混沌现象，研究经济、金融系统中的混沌行为机制，并对其进行控制成为学者研究的热点。 1.3.1混沌理论在经济学中的研究现状 在国内外学者对经济现象，包括微观(如寡头垄断模型)和宏观模型(如经济周期模型)的分析过程中，越来越多地发现了非线性微分方程和非线性差分方程描述的动力系统所表现出的一定参数范围内的混沌特征，进而对其进行研究。 近年来，随着研究的深入，混沌理论在经济中的应用越来越受到学者的重视，并取得了良好的效果。李红权和邹琳(2007)针对我国金融市场特点，引入小数据量算法等对时间数据进行处理、计算，并分析了该混沌系统，得到了我国金融证券市场的混沌动力学结构。徐峰等(2007)在