理论力学(第二版)

绪论 1.理论力学的研究内容 理论力学研究物体机械运动的一般规律。所谓机械运动，是指所研究的物体相对另一参照物体，在空间位置随时间变化的一种运动形式，其中的参照物体称为参考体。与参照物相固连的坐标系称为参考系。绝大多数工程问题，参考系固连于地球表面足以满足要求，此时参考系又称为惯性参考系。如果地球运动对所研究物体机械运动的影响不可忽视，则惯性坐标系必须固连在地球以外的物体上。理论力学属于经典力学的范畴，研究宏观、低速、惯性系下物体的机械运动。相对于惯性参考系静止或者刀速直线运动的物体，称其处于平衡状态。平衡包含着两层含义：首先是指一种特定的运动形式；其次则意味着为了维持平衡状态，物体所受各力之间必然存在着的某种确定关系，通常称为平衡条件，表达成数学形式则称为平衡方程。与平衡状态相对应的是非平衡状态，如腾空而起的火箭，飞行的飞机，运转的转子，执行读、写任务的磁头等，在力学中把这类物体归结为运动学和动力学问题进行研究。 本门课程内容按照三部分进行组织。 静力学：研究力系的简化以及物体的受力及平衡条件。 运动学：从几何的角度研究物体运动的几何性质，包括位移、轨迹、速度、加速度，暂不涉及力。 动力学：研究物体运动与受力之间的关系，求解未知的运动量及力，涉及牛顿力学及分析力学。 解决好一个力学问题，通常包含以下四方面工作： （1）建立合理的力学模型。围绕所要解决的问题，考虑各主要影响因素，忽略一些次要因素，建立系统合理的力学模型（又称物理模型）。 （2）建立数学模型。针对力学模型，运用相关的力学理论和数学工具，建立或推导所研究问题的基本方程，*后形成定解方程。此方程可能为线性代数方程、微分方程、非线性方程，或其他形式的方程。 （3）理论求解。求得方程的解以及研究解的性质，简单问题可以求得解析解，复杂问题则需借助计算机进行数值求解。 （4）结果验证及模型修正。验证力学、数学模型的合理性，检测所得结果的可信度，必要时对模型作出修正重新求解。 2.研究对象的初步分类 自然界和工程界的物体千姿百态，各不相同。不同类型的研究对象在研究方法上差异很大。为了便于问题研究，对各类物体初步进行理想化的抽象，分类如下。 质点：没有大小但具有质量的点。这一概念*初来自对天体的运动研究，与天体之间的超远距离相比，其自身的大小影响甚微，可视为质点。由牛顿定律即可建立质点的定解方程。 离散质点系：分散但相互间有某种联系的一群质点。例如，太阳系中的各天体以万有引力相互联系，即组成一个离散质点系。至于具体的力学模型中需要考虑哪些质点，则由所研究的问题而定。 连续体：我们周围的物体多数为具有一定大小，且质量连续分布的物体，称为连续体（与流体合称为连续介质）。物体的几何形状可能比较简单，也可能相当复杂。从逻辑上，连续体可看成由无限多个质点组成的连续质点系，但并非通过逐一研究各质点就能达到解决问题的目的。因此，建立直接研究连续质点系的有效工具就显得十分必要。 离散质点系和连续体统称为质点系，它们之间既有共性也有差别。这种差别主要体现在所使用的数学工具不同。 3.矢量力学方法和分析力学方法 力学的研究方法可分成矢量力学方法（又称牛顿-欧拉力学）和分析力学方法（又称拉格朗日力学）。矢量力学通过力的大小、方向及力矩表达力的作用。该方法相对比较直观，在历史上形成较早，因而人们比较熟悉；分析力学则通过力的功（确切说是虚功）表达力的作用，是牛顿定律与数学工具（特别是变分工具）相结合的产物。这种方法相对出现较晚，因而人们相对比较生疏。 4.与相关课程的联系和分工 早期的力学是物理学的一个组成部分，随着研究的深入逐渐从物理学中分离出来而成为一门独立的学科。物理学侧重于物质世界基本规律的探讨，力学则架起了基本物理规律与复杂工程实际间的一座桥梁。两者的重要差别在于力学研究对象的多样化及运动形式的复杂性。物理课程中已有的一些力学概念在本课程中将有新的内涵，物理课程中已有的一些力学定理在本课程中也将有新的应用形式。此外，本课程还将对分析力学的基础部分进行讨论。课程中将涉及矢量、微分、矩阵、微分方程、变分等多种数学工具。 理论力学是一门技术基础课，是材料力学、振动力学、结构力学、流体力学、弹性力学、机械原理、机械设计等后续课程的基础；为后续课程在分析约束、分析受力、力系等效简化和描述平衡、运动及动力学分析等方面提供综合性的支持平台。 **篇 静力学 静力学用矢量力学方法研究物体平衡问题（又称几何静力学），包括刚体平衡和变形体平衡。力系的等效和简化为其理论基础，该理论揭示了力系对物体作用的本质，给出了平衡条件。本篇介绍的概念与结论在分析物体受力和建立物体平衡方程中有重要应用。 第1章 静力学基础 本章将讨论力学模型中的几个重要内容：刚体的概念、常见约束的性质、物体受力分析和受力图。力系等效简化的依据是人们长期观察和实验总结出的几条结论，经过严格的科学抽象和表述，其正确性已被公认，通常称为静力学公理。静力学公理在力学建模中具有重要的指导意义。 1.1 力及其表示法 1.1.1 力 力是物体之间相互的机械作用，其作用效果是改变物体的运动状态（外效应）和使物体变形（内效应）。改变物体的运动状态，在静力学中可理解为使静止的物体开始运动。在动力学中则依据牛顿定律对不同的力学模型和不同的运动形式给出更明确的表述。力使物体产生变形，将在材料力学等课程中进行研究。力的作用效果取决于力的三要素：大小、方向、作用点。任何一个要素的改变，都将改变该力的作用效果。在国际单位制（SI）中力的单位是牛顿（N）或千牛顿（kN）等。 力是矢量，在几何上可以用带有箭头的有向线段表示出力的全部要素：线段长度依比例表示力的大小，箭头方向表示力的方向，线段的起点（或终点）表示力作用点的位置。此外，还需标上代表该力的矢量名称，常以黑体字符表示，如图1-1所示。其中F表示力的大小和方向，下标A表示力的作用点。多数情况下FA代表作用于A点的一个力，在运算表达式中等同于一般的数学矢量。力的几何表示法主要用于物体的受力分析（绘制受力图）。 图1-1 力是物体之间相互的机械作用，满足牛顿第三定律，即作用反作用公理。本课程中把它列为静力学公理之一。作用反作用公理当甲物体对乙物体有作用力的同时，甲物体也受到来自乙物体的反作用力；作用力与反作用力等值、反向、共线。在对物体进行受力分析时必须遵循作用反作用公理。 1.1.2 力的投影和分析表示法 数学中已给出了矢量在给定轴或平面上的投影的定义。据此，建立直角坐标系，即可计算力在坐标轴上的投影。设xyz、、轴正向的夹角轴的单位矢量为i、j、k，力F与xyz分别为（图1-2），则力在坐标轴上的投影为（1-1）。 力在坐标轴上的投影为代数量。在具体计算力的投影时可以先依据力与坐标轴正向所成的夹角确定投影的正负（锐角为正、钝角为负）；再利用给定的几何数据计算投影的大小，其中包括了二次投影方法。 已知力的投影，就可以用代数方法（又称为分析方法）表示力、力的关系并完成具体计算。其中（1-2）称为力的分析表达式。力的分析表示法只描述了力的方向及大小，力的作用点仍需通过受力图得以反映。 图1-2 1.2 刚体与变形体 静力学中把研究对象区分为刚体和变形体两种力学模型。所谓刚体，指受到力作用后不会发生变形的物体，换言之，指受到力作用后，物体内任意两点间距离都不会改变的物体。 物体受力后总会发生变形，有时变形还相当显著。图1-3中弹簧受力后的平衡位置（图1-3（b））与初始位置（图1-3（a））相比，弹簧的长度及方位都有了不可忽视的改变。在撑杆跳运动员起跳后的过程中，撑杆也会呈现明显的弯曲变形，其变形的形式及描述方法都比弹簧要复杂，且表现为一个动态过程。力学中把上述情况归结为大变形（或有限变形）问题。对大变形问题的研究涉及更深的力学知识和更复杂的数学工具，数值计算工作量也较大。 大多数工程问题中，物体受力后的变形都相当小。例如，一图1-3根受拉的钢杆，当载荷控制在允许范围内时，杆长的变化不超过原长的千分之几；一般的公路桥梁，在自重及外载荷作用下铅垂方向的位移不超过桥梁跨度的1～1。力学中把这类情况归入小变形（或无限小变形）问题。在这种背景下，可以把700500研究工作分为两个阶段。**阶段，忽略变形对物体形状和尺寸的影响，研究物体整体的平衡和运动，求得作用于物体的未知外力，这一阶段物体被抽象为刚体模型。这一阶段，忽略变形这一次要因素是一种简化，正是这种简化使我们找到了从物理角度研究力系等效的方法，并由此得到用矢量力学方法描述平衡问题的基本方程。第二阶段，研究物体的变形和内力分布随物体几何特征的不同，这一阶段物体被抽象为变形体，如细长的杆、薄的壳体以及三维块体，考虑其变形的力学特性将分别在后续的材料力学等课程中进行研究。 这里需要强调，刚体平衡是变形体平衡的基础，变形体平衡与刚体平衡两者之间既存在共性，也存在着不容忽视的差别，我们将随后详述这些内容。 1.3 力系平衡的几个公理 作用于同一研究对象上的一群力称为一个力系。地球对一物体的引力施加于该物体的每一点，是分布力，可看成一个力系。如果两个力系对物体作用效果相同，则称此两力系等效，这是静力学中要讨论的重点内容。如果一个力和一个力系等效，则称此力为该力系的合力。若力系中各力作用于物体的同一点，则称此力系为共点力系。需要明确的是，并非任何一个给定的力系都能够合成一个合力。 1.3.1 力的平行四边形公理 作用在物体上一点A的两个力F1和F2可以合成一个合力；合力的作用点仍为A，其大小和方向由以F1和F2为邻边所作平行四边形的对角线来确定（图1-4）。 此公理是讨论力系合成与简化的物理基础。对它的全面理解包括：适用条件，合成结果，合力的大小、方向及作用点。从数学角度看，合力FR的大小和方向是F1、F2的矢量和，即（1-3）。 若先作出**个矢量，再把第二个矢量的起点置于**个矢量的终点，则从**个矢量的起点指向第二个矢量终点的矢量即表示合力的大小和方向（图1-5），此法称为力的三角形方法。 反之，也可以把一个力按平行四边形法则进行分解，并用来表示待求的未知约束力或计算力的投影、力矩、功等。 平行四边形公理的应用（共点力系的合成及平衡） 图1-4 给定作用于物体上的共点力系（F1，F2，F3， ，Fn）（图1-6），运用力的平行四边形公理求得F1、F2的合力，再求此合力与F3的合力，以此类推，可得出以下结论：一个共点力系可合成为一个合力；力系中各力的共同作用点为此合力的作用点，合力的大小、方向等于力系中各力矢量和，即（1-4）。 力矢量求和可用几何方法完成，如图1-7所示，先作出代表F1的矢量AA1，再以A1为起点作代表F2的矢量A12A，以此类推得到一组折线A1A2 An，称为力多边形，该方法称为力多边形方法。矢量AAn称为力多边形的封闭边，代表了力系合力的大小及方向。 图1-5图1-6图1-7 当力多边形为特殊的三角形、矩形、正方形、正多边形时，用几何法可方便地求得力系的合力大小和方向。若变动求和次序，则力多边形的形状也随之改变，但不影响*终的合成结果。矢量求和也可用分析法，但需建立一个直角坐标系Oxyz，将式（1-4）投影到x、y、z轴则得到（1-5）即共点力系合力在某一轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。为了简化，式中略去了下标i。若一个力系施加在物体上不改变物体原有的运动状态，如使平衡的物体仍然保持平衡，则称