高等数学(上册)

第1章 函数、极限与连续 1 1.1 函数 1 一、集合、区间、邻域 1 二、函数及其特性 3 三、初等函数 6 习题1-1 9 1.2 极限的概念 10 一、数列的极限 11 二、 函数的极限 12 三、 无穷小与无穷大 15 习题1-2 17 1.3 极限的运算法则 18 一、极限的四则运算法则 18 二、复合函数的极限运算法则 21 习题13 21 1.4 极限存在准则及两个重要极限 22 一、夹逼准则 22 二、单调有界收敛准则 23 三、两个重要极限 24 习题1-4 27 1.5 无穷小的比较 28 一、无穷小比较的概念 28 二、等价无穷小 30 习题1-5 31 1.6 函数的连续性 32 一、函数连续性的概念 32 二、 函数的间断点 34 三、初等函数的连续性 36 四、 闭区间上连续函数的性质 37 习题1-6 39 章节测试一 40 第2章 导数与微分 42 2.1 导数的概念 42 一、引例 42 二、 导数的定义 43 三、 用定义求导数举例 45 四、导数的几何意义 47 五、函数可导性与连续性的关系 48 习题21 49 2.2 函数求导法则 50 一、导数的四则运算法则 50 二、反函数的求导法则 51 三、基本初等函数的求导公式 52 四、 复合函数的求导法则 52 习题22 54 2.3 高阶导数 55 一、高阶导数的概念 55 二、几个初等函数的高阶导数 56 三、高阶导数的求导法则 57 习题23 58 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 59 一、隐函数求导法 59 二、对数求导法 60 三、由参数方程所确定的函数的求导法 61 习题24 62 2.5 函数的微分 63 一、微分的定义 64 二、函数可微的条件 65 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 66 四、利用微分进行近似计算 67 习题25 68 章节测试二 69 第3章 中值定理与导数的应用 71 3.1 中值定理 71 一、罗尔定理 71 二、 拉格朗日中值定理 72 三、 柯西中值定理 75 习题31 76 3.2 洛必达法则 77 一、00和∞∞型未定式的洛必达法则 77 二、其他类型极限求法 79 习题32 80 3.3 函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点 82 一、函数的单调性与极值 82 二、 曲线的凹凸性与拐点 86 习题3-3 88 3.4 函数图形的描绘 89 一、曲线的渐近线 89 二、函数图形的描绘 91 习题3-4 92 3.5 函数的*大值和*小值及其应用 93 一、函数的*大值和*小值 93 二、*大值和*小值应用举例 95 习题3-5 96 章节测试三 97 第4章 不定积分 98 4.1 不定积分的概念与性质 98 一、 原函数与不定积分的概念 98 二、 基本积分公式 100 三、不定积分的性质 101 习题41 102 4.2 换元积分法 103 一、**类换元积分法(凑微分法) 104 二、第二类换元积分法(变量代换法) 111 习题42 114 4.3 分部积分法 115 习题43 119 4.4 有理函数的不定积分 120 一、 有理函数的不定积分 120 二、可化为有理函数的不定积分 122 习题44 125 章节测试四 126 第5章 定积分 128 5.1 定积分的概念与性质 128 一、定积分的概念 128 二、 定积分的性质 132 习题51 134 5.2 微积分基本公式 135 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 135 二、积分上限的函数及其导数 135 三、 牛顿莱布尼茨公式 137 习题52 139 5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 141 一、定积分的换元积分法 141 二、定积分的分部积分法 143 习题53 145 5.4 广义积分 147 一、无穷区间上的广义积分 147 二、无界函数的广义积分 149 习题54 151 5.5 定积分在几何学上的应用 152 一、微元法 152 二、平面图形的面积 153 三、空间立体的体积 157 四、曲线的弧长 161 习题55 163 *5.6 定积分在物理学上的应用 165 一、变力沿直线所做的功 165 二、 水压力 166 习题56 167 章节测试五 168 第6章 微分方程 170 6.1 微分方程的基本概念 170 习题61 172 6.2 可分离变量的微分方程 173 一、可分离变量的微分方程 173 二、齐次方程 175 习题62 177 6.3 一阶线性微分方程 178 一、一阶齐次线性微分方程的解法 178 二、 一阶非齐次线性微分方程的解法 179 习题63 180 6.4 二阶线性微分方程 181 一、线性微分方程解的结构 181 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 183 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 186 习题64 190 章节测试六 191 附录 192 附录1 初等数学常用公式 192 一、 代数 192 二、 三角 193 三、 几何 194 四、 平面解析几何 195 附录2 平面常用曲线及其方程 196 附录3 基本初等函数的图形及其性质 198 附录4 积分表大全 201 一、含有ax+b的积分(a≠0) 201 二、含有ax+b的积分 201 三、含有x2±a2的积分 202 四、含有ax2+b(a>0)的积分 202 五、含有ax2+bx+c(a>0)的积分 202 六、含有x2+a2(a>0)的积分 203 七、含有x2-a2(a>0)的积分 203 八、含有a2-x2(a>0)的积分 204 九、含有±ax2+bx+c(a>0)的积分 205 十、含有±x-ax-b或(x-a)(b-x) 的积分 205 十一、含有三角函数的积分 206 十二、含有反三角函数的积分(其中a>0) 207 十三、含有指数函数的积分 208 十四、含有对数函数的积分 208 附录5 参考答案 209 参考文献 224 第1章 函数、极限与连续 1 1.1 函数 1 一、集合、区间、邻域 1 二、函数及其特性 3 三、初等函数 6 习题1-1 9 1.2 极限的概念 10 一、数列的极限 10 二、 函数的极限 12 三、 无穷小与无穷大 15 习题1-2 17 1.3 极限的运算法则 18 一、极限的四则运算法则 18 二、复合函数的极限运算法则 20 习题13 21 1.4 极限存在准则及两个重要极限 22 一、夹逼准则 22 二、单调有界收敛准则 23 三、两个重要极限 24 习题1-4 27 1.5 无穷小的比较 28 一、无穷小比较的概念 28 二、等价无穷小 29 习题1-5 31 1.6 函数的连续性 32 一、函数连续性的概念 32 二、 函数的间断点 34 三、初等函数的连续性 36 四、 闭区间上连续函数的性质 37 习题1-6 38 章节测试一 40 第2章 导数与微分 42 2.1 导数的概念 42 一、引例 42 二、 导数的定义 43 三、 用定义求导数举例 45 四、导数的几何意义 47 五、函数可导性与连续性的关系 47 习题21 49 2.2 函数求导法则 50 一、导数的四则运算法则 50 二、反函数的求导法则 51 三、基本初等函数的求导公式 51 四、 复合函数的求导法则 52 习题22 53 2.3 高阶导数 55 一、高阶导数的概念 55 二、几个初等函数的高阶导数 55 三、高阶导数的求导法则 57 习题23 58 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 59 一、隐函数求导法 59 二、对数求导法 60 三、由参数方程所确定的函数的求导法 61 习题24 62 2.5 函数的微分 63 一、微分的定义 63 二、函数可微的条件 64 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 65 四、利用微分进行近似计算 67 习题25 68 章节测试二 69 第3章 中值定理与导数的应用 71 3.1 中值定理 71 一、罗尔定理 71 二、 拉格朗日中值定理 72 三、 柯西中值定理 75 习题31 76 3.2 洛必达法则 77 一、00和∞∞型未定式的洛必达法则 77 二、其他类型极限求法 79 习题32 80 3.3 函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点 82 一、函数单调性与极值 82 二、 曲线的凹凸性与拐点 86 习题3-3 88 3.4 函数图形的描绘 89 一、曲线的渐进线 89 二、函数图形的描绘 90 习题3-4 92 3.5 函数的*大值和*小值及其应用 93 一、函数的*大值和*小值 93 二、*大值和*小值应用举例 95 习题3-5 95 章节测试三 96 第4章 不定积分 98 4.1 不定积分的概念与性质 98 一、 原函数与不定积分的概念 98 二、 基本积分公式 100 三、不定积分的性质 101 习题41 102 4.2 换元积分法 103 一、**类换元积分法(凑微分法) 103 二、第二类换元积分法(变量代换法) 110 习题42 114 4.3 分部积分法 115 习题43 119 4.4 有理函数的不定积分 120 一、 有理函数的不定积分 120 二、可化为有理函数的不定积分 122 习题44 125 章节测试四 126 第5章 定积分 128 5.1 定积分的概念与性质 128 一、定积分的概念 128 二、 定积分的性质 132 习题51 134 5.2 微积分基本公式 135 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 135 二、积分上限的函数及其导数 135 三、 牛顿莱布尼茨公式 137 习题52 139 5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 141 一、定积分的换元积分法 141 二、定积分的分部积分法 143 习题53 145 5.4 广义积分 147 一、无穷区间上的广义积分 147 二、无界函数的广义积分 149 习题54 151 5.5 定积分在几何学上的应用 152 一、微元法 152 二、平面图形的面积 153 三、空间立体的体积 157 四、曲线的弧长 160 习题55 162 *5.6 定积分在物理学上的应用 163 一、变力沿直线所做的功 163 二、 水压力 165 习题56 166 章节测试五 167 第6章 微分方程 168 6.1 微分方程的基本概念 168 习题61 170 6.2 可分离变量的微分方程 171 一、可分离变量的微分方程 171 二、齐次方程 173 习题62 175 6.3 一阶线性微分方程 176 一、一阶齐次线性微分方程的解法 176 二、 一阶非齐次线性微分方程的解法 177 习题63 178 6.4 二阶线性微分方程 179 一、线性微分方程解的结构 179 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 181 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 184 习题64 188 章节测试六 189 附录 附录1 初等数学常用公式 191 附录2 平面常用曲线及其方程 195 附录3 基本初等函数的图形及其性质 197 附录4 积分表大全 200 附录5 参考答案 208 参考文献 222