有趣的几何/别莱利曼趣味科普经典丛书

**章 丛林中的几何学 作为伟大的数学家，大自然不知孕育着多少几何学的秘密，而丛林中的秘密更是众多。其中，阴影测量的方法就是极为简单的一种。 用阴影长度测量高度 如今我还时时回想儿时曾令我感到惊讶的事。那件事是这样的：一位守林人为了测量一棵大树的高度，使用了一个极小的仪器。测量时，他在一棵大树附近站好，然后通过一个四方形的木板来观察大树。就在我以为他就要开始测量树的高度时，他却将那个方形的仪器装入口袋，然后轻松地告诉大家，他的工作已经完成。在我看来，他明明之前什么也没做，测量工作应该刚刚开始才是。 这种测量方法像神奇的魔术般，他既不必爬到树顶测量，也不必把大树砍倒，就能轻易地测量出大树的高度，幼小的我觉得这就是一个奇迹。后来我逐渐长大，懂得越来越多知识，才明白这其实是个极其简单的方法，而利用简易的仪器或不用其他任何工具来辅助完成测量的方法也有很多。 泰勒—— 一位古希腊的哲学家，他曾在公元前6世纪用一种*简单而又*古老的方法测量出金字塔的高度。太阳下金字塔的阴影就是他测量金字塔的“工具”。那时候的法老和祭司们都无法相信这个从北方来的异客可以测量出胡夫金字塔的高度。据说，泰勒选择了自己的影子和身高等长的时间，他认为这时测量出的金字塔的阴影长度就等于金字塔的高度。泰勒灵活地运用了等腰直角三角形的相似原理。 如果把这位古希腊哲学家解决问题的办法运用到今天，就算是现在的小学生也会感到非常简单。但我们要切记：现阶段学习到的几何知识都是古希腊以后逐渐建立的，我们现在看问题是运用了前辈们努力探究后的成果和结论。欧几里得是古希腊的数学家，他在公元前300年就写了一部很了不起的书《几何原本》。2000多年过去后，这本书仍是我们教育下一代的重要书籍。 这本书中所讲的定理现在的中学生都知道，然而在泰勒的时代，却不被人们知晓。因为泰勒用阴影测量金字塔高度，所以他需要了解一些关于三角形的性质。首先，等腰三角形的两个底角相等，换言之，一个三角形有两个相等的角，它们对应的边也一定相等；其次，三角形的内角和为180°。因为泰勒知道三角形这两个性质，所以他能判断：当自己的身高和影子等高时，太阳与地面的夹角为45°，并得出那时金字塔的塔高与阴影等高的结论。 当阳光明媚时，单独的大树的阴影并不会和相邻的其他大树的阴影交叉，所以，利用这种办法测量这棵大树的高度比较简便。但这种办法并不适合运用在纬度较高的地方。原因在于，纬度较高的地方，太阳升起的高度比较低，测量物体高度只能在正午前后一段很短的时间内进行，不像低纬度的埃及有充裕的时间选择。因此，泰勒采用的这种办法并不是放之四海而皆准的。 现在，我们可以巧妙地利用相似三角形的性质。我们稍微调整一下刚才使用的办法——使得在太阳照耀的有利条件下更好地测量高度。为此，我们不仅要知道阴影的长度，还要知道另一个物体，如木杆的长度，如此，就能测算出所需测量物体的高度了（图1-1）。 AB∶BC = ab∶bc 图1-1??利用阴影测量树的高度 由相似三角形的性质可知，树影和树高的比值与身影和身高的比值相等，所以知道了BC、ab、bc就可以方便地计算AB的高度了。 此时此刻，作为读者的你是不是有这样的疑问：如此浅显的道理，是不需要几何学来引证的，即便是没有几何学，我们同样能知道，在相同时刻树高与树影是同一比值。然而，亲爱的读者，你未免想得太过简单了。不信？你可以把这个规则应用在街头路灯照射下物体的高度上，现在，你是否发现这个规则就不适用了。从图1-2中我们可以清楚地看到：大木柱AB的长度是小木柱ab的3倍，但是大木柱的阴影BC是小木柱阴影bc的8倍。想知道为什么是这样的结果吗？为什么非常适合于上一个情形的方法却在这种情形中讲不通？如果你想解决这个问题，就需要学习几何学的知识。 图1-2??灯光照射下的高度与阴影 【题】我们来分析一下两种情况下的不同。在肉眼范围内可以看到，太阳光是平行的光线，而路灯光与太阳的平行光线不同，它是放射状的光线。因此，我们会产生疑问：为什么太阳的光线是平行的呢？太阳光线不都是以太阳为原点向外散发吗？图1-2这种测量方法适用于什么情形呢？ 【解】由于每条太阳光线角度太小，即使用*精准的仪器都无法测量，因此我们把太阳光视作平行光。为了解释这一点，我们需要运用一个很简单的几何学知识。首先，假定太阳光是以太阳为原点向外散发的，现在我们选择两道光线为例。这两条光线投射到地球上的两点距离为1000米。这就等于是：以太阳这个发光点为圆心，以太阳到地球的距离（150000000千米）为半径画圆，我们选取的两道光线之间的弧长为1000米，这个圆的周长为2π×150000000≈940000000千米。 计算得出：这1000米的弧长对应的角度只有秒。因为这个角度太微不足道，即使用现在世界上*先进和精准的仪器都难以测量出来，所以，把太阳光视作平行光线也是可行的。 因此，假如没有几何学作为支持，前文中提到的利用阴影测量高度的方法就没有任何依据了。 尽管如此，上述我们所讲的方法也不是很可靠，尤其是在做实地试验的时候。原因是阴影的尽头并不十分清楚，测量阴影的实际长度存在一定难度。所以实际生活中，我们可以发现：太阳光投射出的任何一个阴影，到了尽头处都是模糊不清的。其原因就是太阳光不是从一点发出的，太阳相比地球是一个更大的发光体，太阳光线是由它庞大的表面散发出来的。图1-3解释了树影BC为何会多出一段慢慢消失的半影CD。此时，半影两端点C、D和树梢A的夹角∠DAC与我们前述的太阳圆面形成的夹角相同，即等于0.5度。所以，仅仅因为太阳位置较高，阴影测量不完全准确产生的误差就有可能达到5%或者更大。要是再有其他的不可避免的因素（如地势高低不平等），那么，其引起的误差将会使结果更加不可靠。比如，这个方法在丘陵地带就不完全适用。 另外两种方法 接下来，我们讲两种无须利用阴影的测量办法，这两种方法也非常简单。 **种方法是：用3个大头针在一块木板上画出一个等腰直角三角形，接着的测量需要利用等腰直角三角形的性质。先找来一块较为光滑的木板或者树皮，在上面画一个等腰直角三角形，接着分别在3个顶点上钉上3个大头针（图1-4）。 此时，有的读者可能会问：如果我手上没有三角板，画不出正确的直角应该怎么办呢？解决这个问题的方法很简单，只需要把一张纸对折两次（对折再横折）就会出现一个直角了。如此看来，即使是在野外露营，也能很快制作一个直角三角形。令人惊喜的是，使用这个仪器要比制作它更简单。 使用前要知道如何让一条直角边处于竖直状态。这个方法也很简单：我们可以在直角边的顶点上钉上一根系有重物的细线，而且保证细线和直角边重合。然后，你用手拿着仪器（图1-5），在树的前面寻找一个点A，从点A出发，让点a、点c和树梢上的点C在同一直线上（即a、c两个大头针正好挡住树梢上的C点）。此时三角形aBC恰好是一个等腰直角三角形。大树的高度CD=BC+BD=aB+BD=AD+aA，所以，只要再测出AD的长度和aA（眼睛距离地面）的高度，大树的高度就可以计算出来了。 第二种方法更加简单。首先，竖立一个长杆在地面上，长杆露在地面上的高度要与自己的身高相等。然后我们需要找到一个点b（图1-6），点b使我们躺在地上脚跟紧贴长杆底部时，眼睛、杆梢a、树梢C位于同一直线上。此时，三角形ABC就是一个等腰直角三角形。树高BC=AB=Ab+bB，所以，我们再测量出bB的长度就能计算出大树的高度（即眼睛到树根的距离）了。 测高妙法 在著名的科幻小说《神秘岛》中，儒勒·凡尔纳也曾经介绍过一个比较简单的测量物体高度的方法。 工程师说：“我们今天得去测量眺望台的高度。”赫伯特说：“那我们需要什么仪器呢？” “我们需要转换一种测量方式，这种方式不需要使用任何仪器，但结果和昨天一样准确。” 赫伯特是一个很热爱学习的青年人，所以他绝对不会放过这样的学习机会，于是他和工程师一起前往眺望台。 到达眺望台后，工程师取出一根大约长12英尺的直杆。因为他清楚地知道自己的身高，所以他比较了一下直杆和自己的身高，就大约知道直杆的长度了。测量好后，赫伯特接过工程师递给他的一块系有细线的石块。 工程师走出眺望台，然后在离眺望台约500英尺的地方停下脚步，往沙土中插入直杆，插入沙土的长度约为2英尺，然后他用手中的工具悬锤调整直杆，使它竖直。 接着，他继续往外走，直到找到一个地方，并仰面躺下。此时，在这个位置上，眼睛、直杆的顶点和眺望台的顶点都处于同一直线上（图1-7）。然后他把短木桩插在了这个点上，并问身边的赫伯特：“你知道几何学吗？” 图1-7??测量眺望台的高度 “是的，我了解。” “那么你知道相似三角形的性质吗？” “相似三角形的对应边成比例。” “对。我们现在不就有两个相似三角形吗？相对小的三角形一条边是短木桩到直杆的距离，另一条边是竖直的木杆，以我的视线为弦；相对大的三角形一条边是眺望台的高度，另一条边是短木桩到眺望台的距离，同样以我的视线为弦，因此和小三角形的弦在同一直线上。” “哦，我懂得了。直杆高度与眺望台高度的比值，等于短木桩到直杆的距离与短木桩到眺望台距离的比值。” “是的。因而我们只要知道短木桩到直杆和眺望台的距离以及直杆的高度，眺望台的高度便可以通过比值计算出来。” 通过测量可知，短木桩到直杆的距离是15英尺，到眺望台的距离是500英尺。所以： 10∶x≈15∶500 解得x≈333英尺。 因此，眺望台高度约为333英尺。 侦察兵的测高绝招 以上我们介绍的几种测高的方法都有一个共同的不足之处，那就是都需要躺在地上。那么，我们能否找到一个不需要躺在地上的方法呢？例如：在战争中，某个分队接受命令在山涧上架设一座桥梁，但敌人就在对岸。分队决定派出一个侦察小组计算出树林中有多少能用于架桥的树木，以此了解架桥所用的材料。为此，他们需要先测量树高。如图1-8所示，他们借助一支测量杆来测量树高。所需的测量杆高度必须略高于身高。首先，把测量杆竖立在大树前面，并离开一段距离。然后，测量人员沿着Dd的延长线向后退，直到点A，在该点上，眼睛、测量杆的杆顶和大树树梢恰恰处于同一直线。 接着，测量人员水平看向大树，在视线与测量杆和大树分别相交的点c与点C上以后做好记号。现在，观测工作就完成了。随后，根据相似三角形的性质bc∶BC=ac∶aC，可得出BC=bc× 。同样能直接测量出式中的aC、ac、bc，大树的高度等于BC与CD的和。 为了测算树林中的树木数，组长先派遣人员测量树林的面积，接着数出在50平方米内的树木，然后利用简单的乘法计算出树林中的树木数。于是，分队利用这些数据选择在一个恰当的地方搭建桥梁。战斗任务也因此顺利结束了。 图1-8??利用测杆测量高度 借助记事本测高 假如需要测量一个不可能攀登的高度，但结果并不要求太准确，那就可以利用袖珍记事本（附带小铅笔的那种）来完成。事实上，这个记事本是个相当不错的测量仪器。 基本的思路是：把记事本放在一只眼睛前面（图1-9），并维持记事本的竖直状态。接着把铅笔慢慢往上推，直到从点a方向看去，铅笔尖b点恰好能挡住树梢B点。这时，出现了两个相似三角形：三角形abc和三角形aBC。由相似三角形的性质可得bc∶BC=ac∶aC， 得BC=bc× 。 由于式中aC、ac、bc皆可直接测量，因而用所求的BC加上CD就等于大树的高度了。CD的高度与你的眼睛到地面的距离相等。我们接着思考，记事本的宽ac是不变的，因此，只要你站在树前的位置（aC的距离）不变，就只剩下一个变量bc了。当我们得知bc的数值时，就可以知道大树的高度了。 接着，我们来思考一下：假如在铅笔上画上刻度，这样大树的高度就能直接读数了。这个简易的装置也就成了一个测量仪了。 不必靠近大树的测高法 有的读者有这样的疑问：要是无法接触测量的大树，还能够测量它的高度吗？答案是肯定的。接下来，我们一起学习制作一个简单的测量仪器。准备两根木条（图1-10），并把ab垂直地钉在cd上，使ab=bc=2bd。如此，一个简单的测量仪就顺利完成了。测量需要两次运用三角形的相似性质。 图1-10??利用两根木条制成的*简单的测高仪和它的使用法 **步，在测量者的前上方放上这个仪器（固定其高度），并使cd保持竖直。首先确定一个点A，使点a、c及树梢B保持在同一直线上。 第二步，测量者沿着DA的延长线向后移，并找到点A′，使a′、d′及B在同一直线上。我们使用这种测量方法的关键点是A和A′的选择，因此，BC的高就与AA′的距离相等。原因是什么呢？ a′C=2BC aC=BC 两式相减得： a′C-aC=BC=A′A 在得到BC后，加上仪器ab距离地面的高度，就等于大树的高度。 由此可见：在不能接近大树的地方，运用这种测量方法也能测量树高。 事实上，这种仪器的制作方法还可以更简单：无需木条，只要使用一块光滑的木板，并用大头针在上面标识a、b、c、d四个点就可以了。 林业工作者的测高仪 事实上，林业工作者使用的专业测量仪并不是前面所讲的测高仪器。接下来我们就来了解一下专业的测量仪，但我们只讨论一种，并对它做了些许的改动。 我们以图1-11为参照来介绍这种测高仪的构造原理。仪器由一块方形的木板或平面纸板和一个竖直垂线组成。测量人在待测大树前站立，并使点a、点b及点B保持在同一直线上。此时竖直垂线与cd相交于点n，做上记号。现在，我们看看三角形bnc和三角形bBC是否相似？答案毫无疑问是相似的。所以： nc∶BC=bc∶bC 得BC=bC× 图1-11??林业工作者所用测高仪的使用方法 其中，可以直接测量的有bC、nc、bc，此时再测量出CD的高度（仪器所在点b到地面的距离），这样，我们就可以知道大树的高度了。 现在我们继续往下想。已知方形木板的边长（假定为10厘米），在边cd上画出厘米的刻度，这样， 就可以直接读出来了。打个比方：假设竖直垂线和cd相交于7厘米的点上，那么就是0.7，这样就可以很快计算出大树的高度了。 接着往下思考：能否更简单地将点a、b、B置于同一直线上呢？现在，我们在线ab的两侧折出两个竖立的小正方形，分别在两个正方形上穿一个孔。放在眼前的孔比放在后面的孔稍大（图1-12）。