排列和组合

　　一、基本应用　　隔板法是插空法的一种特殊情况，能解决一大类组合问题，请看以下典型问题。　　例19个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球，有多少种不同的放法？　　解法1 先在盒子里各放1个球，再把剩下的3个球放到6个盒子里，分三类：　　①3个球放到1个盒子里，有C16种放法；　　②3个球放到2个盒子里，球数分别为2，1，共A26种放法；　　③3个球放到3个盒子里，每个盒子各1个球，共C36种放法，根据分类计数原理，共有C16+A26 +C36 =56种放法。　　解法2 把6个盒子看作由平行的7个隔板组成的，每一个满足要求的放法都相当于9个小球和7个隔板的一个排列，其中2个隔板在两头，任何2个隔板之间至少有1个球（即任何2个隔板不相邻），把两头的2个隔板拿掉，每一个满足要求的放法还相当于在排成一列的9个小球间的8个空当中插入5个隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有C58=56种。　　说明 上述解法1容易理解，但分类较繁，此法不便于推广；上述解法2就叫隔板法，它应用了对应的方法，转化为插空问题，计算比较简单，但不易理解，等理解透彻后，就会发现隔板法是非常好用的，是具有普适性的方法，应用此法的前提是小球完全相同（不加区分），盒子是不同的，每个盒子至少放1个球，　　练习题 要从高一年级8个班中产生12名学生代表，每个班至少产生1名代表，则代表名额分配的方案有多少种？　　略解 12个名额看作12个相同的小球，8个班看作8个不同的盒子，用隔板法，知名额分配方法共有C711=330种。　　……